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2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.3 全称命题与特称命题的否定作业 北师大版选修1-1

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1.3.3 全称命题与特称命题的否定

[基础达标]

1.已知命题 p:任意 x∈N,2x+1∈N,则 p 的否定为( )

A.任意 x∈N,2x+1?N

B.存在 x∈N,2x+1?N

C.存在 x∈N,2x+1∈N

D.存在 x?N,2x+1∈N

解析:选 B.p 为全称命题,其否定为:存在 x∈N,2x+1?N.

2.命题“存在 x∈R,x2-x<0”的否定是( )

A.存在 x∈R,x2-x≥0

B.存在 x∈R,x2-2x>0

C.任意 x∈R,x2-x≥0

D.任意 x∈R,x2-x<0

解析:选 C.命题“存在 x∈R,x2-x<0 的否定是:任意 x∈R,x2-x≥0”.

3.命题“原函数与反函数的图像关于 y=x 对称”的否定是( )

A.原函数与反函数的图像关于 y=-x 对称

B.原函数不与反函数的图像关于 y=x 对称

C.存在一个函数,其原函数与反函数的图像不关于 y=x 对称

D.存在原函数与反函数的图像关于 y=x 对称

解析:选 C.命题“任意 x∈M,p(x)”的否定是“存在 x∈M,非 p(x)”.

4.对下列命题的否定说法错误的是( )

A.p:能被 3 整除的整数是奇数;非 p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数

B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;非 p:存在一个四边形的四个顶点不共圆

C.p:有的三角形为正三角形;非 p:所有的三角形都不是正三角形

D.p:存在 x∈R,x2+2x+2≤0;非 p:当 x2+2x+2>0 时,x∈R

解析:选 D.特称命题的否定为全称命题.

5.若命题“存在 x∈R,使得 x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是

()

A.[-6,-2]

B.[2,6]

C.(2,6)

D.(-6,-2)

解析:选 B.由题知,任意 x∈R,x2+mx+2m-3≥0 恒成立为真,∴Δ ≤0 可得 m∈[2,

6],选 B.

6.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________.

解析:这是一个全称命题,其否定为存在 x∈R,使|x-2|+|x-4|≤3 成立.

答案:存在 x∈R,使|x-2|+|x-4|≤3 成立

7.命题“存在 x,y<0,x2+y2≥2xy”的否定为________.

解析:这是一个特称命题,其否定为:对任意 x,y<0,都有 x2+y2<2xy.

答案:对任意 x,y<0,x2+y2<2xy 恒成立

8.已知命题 p:存在 x∈R,x2+2ax+a≤0.若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是

________.

解析:p 为特称命题,又是假命题,故其否定:“对任意 x∈R,x2+2ax+a>0 恒成立”

为真命题,故 Δ =(2a)2-4a<0,解得 a∈(0,1).

答案:(0,1)

9.写出下列全称命题或特称命题的否定.

(1)存在 α 0,β 0∈Z,使 sin(α 0+β 0)=sin α 0+sin β 0;

(2)对任意的 x∈R,都有 x2-x+14≥0;

(3)存在 n∈N,2n>1 000;

(4)每条直线在 y 轴上都有一个截距.

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解:(1)特称命题的否定为: 对任意的 α 、β ∈Z,使 sin(α +β )≠sin α +sin β . (2)全称命题的否定为: 存在 x∈R,使 x2-x+14<0.

(3)特称命题的否定为: 对任意的 n∈N,有 2n≤1 000. (4)全称命题的否定为: 存在一条直线在 y 轴上没有截距. 10.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为 180°; (2)每个二次函数的图像都开口向下; (3)存在一个四边形不是*行四边形. 解:(1)是全称命题且为真命题. 命题的否定:三角形的内角和不全为 180°,即存在一个三角形其内角和不等于 180°. (2)是全称命题且为假命题. 命题的否定:存在一个二次函数的图像开口不向下. (3)是特称命题且为真命题. 命题的否定:任意一个四边形都是*行四边形.
[能力提升]

1.若“任意 x∈[0,π2 ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则实数 m 的取值范围为(

)

A.m<1

B.m≤1

C.m≤2

D.1≤m≤2

解析:选 C.令 f(x)=sin x+ 3cos x=2sin(x+π3 ),x∈[0,π2 ],

可知 f(x)在[0,π6 ]上为增函数,在(π6 ,π2 ]上为减函数,

由于 f(0)= 3,f(π6 )=2,f(π2 )=1, 所以 1≤f(x)≤2,

由于“任意 x∈[0,π2 ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则其否定“存在 x∈[0,π2 ],

sin x+ 3cos x≥m”为真命题,所以 m≤f(x)max=2. 2.若“存在 x∈[0,π2 ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则实数 m 的取值范围是

________.

解析:令 f(x)=sin x+ 3cos x=2sin(x+π3 ),x∈[0,π2 ],

可知 f(x)在[0,π6 ]上为增函数,在(π6 ,π2 ]上为减函数,

由于 f(0)= 3,f(π6 )=2,f(π2 )=1,所以 1≤f(x)≤2,

由于“存在 x∈[0,π2 ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则其否定“对任意 x∈[0,

π 2

],sin

x+

3cos x≥m”为真命题,所以 m≤f(x)min=1.

答案:(-∞,1] 3.命题“任意 x∈{x|x≥1},x2+x+m≥0”是假命题,求实数 m 的取值范围. 解:若原命题是真命题,

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即对于任意 x∈{x|x≥1},x2+x+m≥0 恒成立, 令 f(x)=x2+x+m,则 f(1)≥0,即 2+m≥0,解得 m≥-2. 要使原命题是假命题,则实数 m 的取值范围是 m<-2. 4.已知两个命题:r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对任意 x∈R, r(x)与 s(x)有且仅有一个为真命题,求实数 m 的取值范围. 解:∵sin x+cos x= 2sin???x+π4 ???≥- 2, ∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 又∵对任意 x∈R,s(x)是真命题时, 即 x2+mx+1>0 恒成立, 有 Δ =m2-4<0, ∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真命题,s(x)为假命题时,m<- 2,同时 m≤-2 或 m≥2,即 m≤-2; 当 r(x)为假命题,s(x)为真命题时,m≥- 2,且-2<m<2,即- 2≤m<2. 综上,m 的取值范围是{m|m≤-2 或- 2≤m<2}.
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